Opublikowano 3 komentarze

Zabawka edukacyjna – Numer 8 – Pakowanie WBG

Matematyka jest piękna. Pamiętam ze studiów, że ćwiczenie umysłu za pomocą problemów otwartych, dla których nie ma opisanych rozwiązań, prowadzi do pogłębienia wiedzy. Pamiętam moje zacięcie przy robieniu zadania z algebry liniowej o macierzach i liczbach urojonych, a dokładnie transponowanie i podniesienie do kwadratu ich, który od niechcenia rzucił na wykładzie dr inż. Przemysław Scherwentkę. Swoje zacięcie i analiza do końca semestru ze znalezieniem roboczego rozwiązania było moim celem. Od niechcenia przy rozwiązywaniu problemów udało mi się zgłębić tak algebrę, że przystąpiłem do egzaminu na celujący, który zaliczyłem bez problemów. 5.5 bo na Politechnice Wrocławskiej nie było 6, ponieważ to podwyższa średnią – w końcu pracują tam matematycy i ekonomiści. Było to moją nagrodą i dumą, ponieważ dr Szerwentke przez niektórych uważany za „wymagającego” dla mnie był inspirujący.

Dziś o powiem wam o zagadce numer 8

Numer 8 – Pakowanie WBG

Samą zabawkę można nabyć w naszym sklepie za drobne pieniądze. Wykonana jest ona z drewna i jest w postaci listu z zadaniem dla odkrywcy.

I dalsza część informacji będzie już zawierało wytłumaczenie. Tutaj jeżeli nie lubisz spoilera, to polecamy kupno zagadki, a potem przeczytanie artykułu.


Wróćmy do naszych zagadek. W 1902 roku pojawiła się zagadka sformułowana przez uczonego Dudeney’a: Jak przeciąć trójkąt w trzech cięciach, aby otrzymać kwadrat. Jest to Problem pasmanteryjny – Haberdasher’sa „Problem With three cuts, dissect an equilateral triangle into a square”. Dudeney, Gardner, Stewart , Wells – opisali rozwiązania oraz rozszerzyli – uogólnili przypadki.

Obecnie problem ten znany jest jako Twierdzenie Wallace’a-Bolyaia-Gerwiena sięgające przed zagadką Dudeney. Dlatego naszą zagadkę nazwaliśmy PAKOWANIE WBG, ponieważ

Wikipedii można przeczytać:

W geometrii twierdzenie Wallace – Bolyai – Gerwien, nazwane na cześć Williama Wallace’a, Farkasa Bolyai i Paula Gerwiena, jest twierdzeniem związanym z rozcinaniem wielokątów. Odpowiada na pytanie, kiedy jeden wielokąt może być utworzony z innego poprzez pocięcie go na skończoną liczbę części i ponowne złożenie ich przez translacje i obroty. Twierdzenie Wallace-Bolyai-Gerwien mówi, że można to zrobić wtedy i tylko wtedy, gdy dwa wielokąty mają tę samą powierzchnię.

Wallace udowodnił ten sam wynik już w 1807 roku.

Według innych źródeł Bolyai i Gerwien niezależnie udowodnili to twierdzenie odpowiednio w 1833 i 1835 roku.

Sformułowanie

Twierdzenie to można sformułować na kilka sposobów. Najpopularniejsza wersja wykorzystuje koncepcję „równomiernego rozkładu” wielokątów: dwa wielokąty są rozkładane równomiernie, jeśli można je podzielić na skończoną liczbę trójkątów, które różnią się tylko pewną izometrią (w rzeczywistości tylko kombinacją translacji i obrotu). W tym przypadku twierdzenie Wallace-Bolyai-Gerwien mówi, że dwa wielokąty są równorozkładalne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą powierzchnię.

Inne sformułowanie odnosi się do przystawania nożyczek: dwa wielokąty są przystające do nożyc, jeśli można je rozłożyć na skończenie wiele wielokątów, które są przystające parami. Nożyczki-kongruencja to relacja równoważności. W tym przypadku twierdzenie Wallace-Bolyai-Gerwien mówi, że klasy równoważności tej relacji zawierają dokładnie te wielokąty, które mają tę samą powierzchnię.

Twierdzenie można zrozumieć w kilku krokach. Po pierwsze, każdy wielokąt można pociąć na trójkąty. Jest na to kilka metod. W przypadku wielokątów wypukłych, można odciąć każdy wierzchołek po kolei, natomiast w przypadku wielokątów wklęsłych wymaga to większej ostrożności. Ogólne podejście, które działa również w przypadku nieprostych wielokątów, polegałoby na wybraniu linii nierównoległej do żadnego z boków wielokąta i narysowaniu linii równoległej do niej przez każdy z wierzchołków wielokąta. To podzieli wielokąt na trójkąty i trapezy, które z kolei można przekształcić w trójkąty.

Po drugie, każdy z tych trójkątów można przekształcić w trójkąt prostokątny, a następnie w prostokąt o jednym boku długości 1. Alternatywnie, trójkąt można przekształcić w jeden taki prostokąt, najpierw zamieniając go w równoległobok, a następnie w taki prostokąt. Robiąc to dla każdego trójkąta, wielokąt można rozłożyć na prostokąt o jednostkowej szerokości i wysokości równej jego powierzchni.

Ponieważ można to zrobić dla dowolnych dwóch wielokątów, „wspólny podział” prostokąta pomiędzy nimi dowodzi twierdzenia. Oznacza to, że przecięcie wspólnego prostokąta (o rozmiarze 1 przez jego powierzchnię) zgodnie z obydwoma wielokątami będzie pośrednie między obydwoma wielokątami.
Dowód tego twierdzenia jest konstruktywny i nie wymaga aksjomatu wyboru, chociaż niektóre inne problemy z rozbiorem (np. problem kwadratury Tarskiego) go potrzebują. W tym przypadku rozkład i ponowny montaż można faktycznie przeprowadzić „fizycznie”: elementy można teoretycznie wyciąć nożyczkami z papieru i ponownie złożyć ręcznie.

Niemniej jednak liczba elementów wymaganych do złożenia jednego wielokąta z drugiego przy użyciu tej procedury, ogólnie znacznie przekracza minimalną liczbę potrzebnych wielokątów.
Uogólnienia
Analogiczne stwierdzenie o wielościanach w trzech wymiarach, znane jako trzeci problem Hilberta, jest fałszywe, czego dowiódł Max Dehn w 1900 roku. Problem ten był również rozważany w niektórych geometriach nieeuklidesowych. W dwuwymiarowej geometrii hiperbolicznej i sferycznej twierdzenie jest prawdziwe. Jednak problem jest nadal otwarty dla tych geometrii w trzech wymiarach.

To, co jak już mamy teorię to przystępujemy do zabawy. Dobrze, że istnieją publikacje matematyczne, które są inspiracją do tworzenia zagadek

Zabawką jest dostępna tutaj:

A rozwiązanie, no cóż… podpowiem:

– fragmentów zabawki nie odwracamy,

– jak masz trudności, to zacznij od otrzymania odpowiednich kątów, potem będzie coraz prościej dołożyć elementy. Jak nie udało się, to możesz napisać w komentarzu lub nawet do nas zadzwonić.

A na Wolfram.com można przeczytać, więcej

https://mathworld.wolfram.com/Dissection.html
http://www.gavin-theobald.uk/HTML/SquareTwo.html

3 komentarze do: “Zabawka edukacyjna – Numer 8 – Pakowanie WBG

  1. Na studiach przerabiałem to twierdzenie Wallace – Bolyai – Gerwien podczas kolokwium na zadaniach z geometrii.

  2. Kocham matematykę i łamigłówki… super zabawy te wasze!!

  3. I właśnie – to jest fantastyczny przykład uczenia matematyki przez zabawę – tak trzymać.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.